ترمودینامیک سیاه‌چاله‌های لاولاک در حضور میدان های الکترومغناطیسی غیرخطیword

چکیده

در گرانش لاولاک تلاش­هایی برای فهمیدن نقش جملات خمش مراتب بالا از دیدگاه­های مختلف، به ویژه در زمینه­ی فیزیک سیاه­چاله­ها، شده است. در این پایان­نامه با در نظر گرفتن گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاس­های نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی، دو نوع جدید از جواب­های سیاه­چاله­ای توپولوژیکی در ابعاد 1+6 بُعد و بالاتر را که شاملِ سیاه­چاله­های باردارِ استاتیک مجانباً تخت، و لایه­های سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته می­باشد معرفی می­کنیم. تأثیرات میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی را بر جواب­ها بررسی می­کنیم و خواهیم دید که به ازای مقادیر مناسب برای پارامترهای متریک، این جواب­ها می­توانند به عنوان سیاه­چاله­ (لایه سیاه)هایی با دو اُفق رویداد، یک اُفق اکستریم و یا یک تکینگی عُریان تفسیر شوند. کمیت­های پایای ترمودینامیکی از قبیل دما، آنتروپی، جرم، بار الکتریکی و ... را برای جواب­ها محاسبه کرده و نشان می­دهیم که قانون اول ترمودینامیک برای سیاه­چاله­های باردارِ استاتیک مجانباً تخت و لایه­های سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته برقرار است. در ادامه تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای سیاه­چاله­های باردارِ استاتیک مجانباً تخت با محاسبه دترمینان ماتریس هسیان در دو آنسامبل کانونی و کانونی بزرگ انجام داده و نشان می­دهیم که پایداری سیاه­چاله­ها در گرانش لاولاک مرتبه سوم می­تواند به نوع آنسامبل انتخابی بستگی داشته باشد، بدین معنی که جملات خمش مراتب بالا روی پایداری سیاه­چاله­ها تأثیر می­گذارد. در این بین نتایجی به دست می­آید که نشان می­دهد حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در رفتار آنسامبل­های متفاوت دارد. در پایان تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای لایه­های سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته انجام داده و نشان می­دهیم که حضور جملات خمش مراتب بالا و میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در پایداری لایه­های سیاه در آنسامبل­های کانونی و کانونی بزرگ دارد. هم­چنین نشان می­دهیم که لایه­های سیاه فیزیکی (با دمای مثبت) دارای رفتار ترمودینامیکی پایداری هستند.

 کلمات کلیدی : گرانش اینشتین، گرانش لاولاک، خمش مراتب بالا، سیاه­چاله­های توپولوژیکی، ترمودینامیک سیاه­چاله­ها، الکترودینامیک غیرخطی.

فهرست

 عنوان صفحه

فصل اول. 1

مقدمه. 1

1-1 قراردادِ یکایی.. 1

1-2 معرفی مفاهیم ارجاعی: ذرات نقطه‌ای، ریسمان‌ها و لایه‌ها3

1-3 انگیزه، هدف و ساختار تحقیق.. 10

فصل دوم. 17

گرانش در ابعاد بالا. 17

2-1 بُعد چهارم و نظریه نسبیت عام اینشتین.. 17

2-2 نظریه میدان‌های کلاسیکی: فرمول‌بندی لاگرانژی میدان‌های گرانشی.. 25

2-3 کُنشِ مرزی نظریه نسبیت عام. 27

2-4 ایزومتری و میدان‌های برداری کیلینگ.. 28

2-5 جواب‌های نظریه نسبیت عام. 29

2-5-1 فضازمانِ آنتی دوسیته در بُعد. 30

2-5-2 حل استاتیک باردار بُعدی معادلات میدان اینشتین در حضور ثابت کیهان‌شناسی 31

2-6 گرانش لاولاک: گسترش استاندارد نسبیت عام به ابعاد بالا. 32

2-7 کُنش مرزی در گرانش لاولاک مرتبه سوم. 36

2-8 روش کانترترم و رفع واگرایی در محاسبه کمیت‌های پایا37

فصل سوم. 42

نظریه­ی الکترودینامیک غیرخطی.. 42

3-1 الکترودینامیک ماکسول. 43

3-1-1 جرم الکترومغناطیسی و مسئله­ی واگرائی خودانرژی بارهای نقطه­ای.. 45

3-1-2 اصل برهم­نهی خطی در نظریه ماکسول. 47

3-2 نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 48

3-2-1 معادلات میدان در نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 51

3-2-2 محاسبه‌ی شدت میدان مطلق ... 55

3-2-3 معادلاتِ موج در نظریه­های الکترودینامیک غیرخطی.. 56

3-3 جمع­بندی.. 58

فصل چهارم. 60

ترمودینامیک سیاه‌چاله‌ها در گرانش لاولاک... 60

4-1 ترمودینامیک سیستم­ها در طبیعت.. 61

4-2 ترمودینامیک سیاهچاله­ها64

4-3 ترمودینامیک سیاهچاله­ها در گرانش خمش مراتب بالا. 68

4-4 کمیت­های ترمودینامیکی.. 70

4-4-1 بار الکتریکی.. 70

4-4-2 پتانسیل الکتریکی.. 71

4-4-2 سرعت زاویه‌ای.. 71

فصل پنجم. 73

ترمودینامیک جواب­های گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاس­های نمائی و لگاریتمی نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 73

5-1 کُنش و معادلات میدان گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی 74

5-2 جوابهای سیاهچاله­های باردار استاتیک در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکل­های نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی.. 75

5-2-1 جواب­های باردار استاتیک 1+6 بُعدی.. 79

5-2-2 معرفی جرمِ هندسی در گرانش لاولاک مرتبه سوم. 82

5-2-3 خصوصیات فضازمانِ جواب­های باردار استاتیک 1+6 بُعدی.. 83

5-2-4 جواب­های سیاهچاله­های باردار استاتیک بُعدی.. 91

5-3 بررسی ترمودینامیک سیاهچاله­های لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی 94

5-4 طبیعتِ پایداری سیاه‌چاله‌ها در آنسامبل‌های کانونی و کانونی بزرگ.. 99

5-4-1 بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچاله­های باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی.. 100

5-4-2 بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچاله­های باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی بزرگ 105

5-5 لایه­های سیاهِ چرخانِ باردار مجانباً در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکل­های نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی.. 110

5-6 بررسی ترمودینامیک لایه­های سیاه چرخانِ باردار مجانباً گرانشِ لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی.. 114

5-7 طبیعتِ پایداری لایه­های سیاه در آنسامبل‌های کانونی و کانونی بزرگ.. 120

5-7-1 بررسی پایداری ترمودینامیکی لایه­های سیاه چرخانِ باردار مجانباً در آنسامبل کانونی 120

5-7-2 بررسی پایداری ترمودینامیکی لایه­های سیاه چرخانِ باردار مجانباً در آنسامبل کانونی بزرگ 123

فصل ششم. 127

نتیجه­گیری و پیشنهادات.. 127

پیوست الف.. 132

پیوست ب.. 134

پیوست ج.. 135

مراجع.. 137

 

فهرست شکل­ها

 

شکل 1-1: نظریه به عنوان نظریه مادر برای پنج نظریه اَبرریسمان 10 بُعدی و نظریه اَبرگرانش 11 بُعدی ............................................................................................................................................................................................................. 8

شکل 2-1: شکل سمت چپ تقسیم فضای فیزیکی به صفحاتِ زمان ثابت در چارچوبِ 4 مختصه­ای فضا و زمان در نظریه نیوتن. یک نقطه­ در این چارچوب یک رویداد نامیده می­شود و مسیر یک ذره در فضا و زمان توسط پیوستاری یک بُعدی از رویدادها، تحت عنوان جهان­خط، مشخص می­شود. شکل سمت راست لایه‌بندی فضازمان در نظریه نسبیت خاص را نشان می­دهد ................................................................... .................................................................................19

شکل 2-2: دستگاه مختصات یک نگاشت از خمینه به فضای اقلیدسی است ..................................................................22

شکل 2-3: یک تبدیل مختصات بین دو مجموعه مختصات ...................................................................................23

شکل 3-1: تغییرات بر حسب. شکل سمت چپ به ازای مقادیر و _. شکل میانی به ازای مقادیر و ؛ دیده می­شود که با افزایش سه مدل در فاصله­ی مکانی خیلی کوچک برهم منطبق می­شوند. شکل سمت راست رفتار در نزدیکی مبدأ به ازای مقادیر و را نشان می­دهد ....................................55

شکل 5-1: مقایسه رفتار تابع­های متریک (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمان­های مجانباً تخت . به ازای مقادیر ............................................................................................................86

شکل 5-2: مقایسه رفتار تابع­های متریک (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمان­های مجانباً. به ازای مقادیر .................................................................................................86

شکل 5-3: تغییرات تابع متریک نسبت به برای کلاس­های (شکل مشکی رنگ)و(شکل آبی رنگ) برایحالت­های متفاوت پارامترِ جرم. به ازای مجموعه مقادیر............................................................................................................................................................................................................88

شکل 5-4: تغییرات تابع متریک نسبت به برای کلاس­های(شکل مشکی رنگ)و(شکل آبی رنگ)به ازای مقادیر،، و . در شکل خطوط باریک مربوط به حالت (سیاه­چاله­ با یک اُفق)، خطوط پررنگ مربوط به حالت (سیاه­چاله با دو اُفق)، خطوط نقطه­ای مربوط به حالت (سیاه­چاله با اُفق اکستریم) و خطوط خط-نقطه­ای مربوط به حالت (تکینگی عریان) هستند...............................................................................................................................................................................................90

شکل 5-5: برای کلاس- تغییرات دما بر حسب (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ........................................................................................................................102

شکل 5-6: برای کلاس- تغییرات ظرفیت گرمایی بر حسب. شکل سمت چپ تغییرات در دامنه­های کوچک را نشانمی­دهد. شکل سمت راست تغییرات در مقادیر بزرگ­تر را نشان می­دهد. به ازای مقادیر .............................................................................................................................................................................103

شکل 5-7: برای کلاس- تغییرات دما بر حسب (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ......................................................................................................................104

شکل 5-8: برای کلاس- تغییرات ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر ........................................................................................................................................................................................................104

شکل 5-9: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................107

شکل 5-10: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................108

شکل 5-11: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................122

شکل 5-12: : برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر ...........................................................................................................................122

شکل 5-13: تغییرات دترمینان ماتریس هسیان در آنسامبل کانونی بزرگ . شکل سمت چپ مربوط به کلاس و شکل سمت راست برای کلاس. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................124

فصل اول

مقدمه

 1-1 قراردادِ یکایی

برای کاربردهای بعدی، ابتدا مشخص می‌کنیم که در چه یکایی از یکاهای فیزیکی کار می‌کنیم. در این پایان‌نامه از واحدهای طبیعی[1] استفاده می‌کنیم به جز مواردی که خلاف آن ذکر شود. در واحدی که کار می­کنیم ثانیه به طور دقیق برابر است با متر. بنابراین برای سرعت نور خواهیم داشت و برای گذردهی الکتریکی و تراویی مغناطیسی خلأ مقدار را اختیار می‌کنیم. در نتیجه ثابت کولن برابر به دست می‌آید. علاوه بر این برای ثابت پلانک و ثابت بولتزمن نیز مقدار واحد را انتخاب می‌کنیم:

بنابراین در واحدهای طبیعی داریم:

و برای سادگی انتخاب می‌کنیم:

بنابراین با مختصر نویسی داریم . از آن‌جایی که کُنشِ، بنا به تعریف، انتگرالِ زمانی یک لاگرانژین (با واحدِ انرژی) است بنابراین تمام کُنش‌ها بدون بُعد خواهند بود یعنی . در نتیجه برای عنصرِ حجم خواهیم داشت:

و برای داشتن یک کُنش بدون بُعد لازم است که چگالی لاگرانژی دارای یکای

باشد. برای مثال با این تحلیل پارامتر غیرخطی در فصل سوم (نظریه الکترودینامیک غیرخطی) دارای یکای جرم خواهد بود.

ثابتِ گرانشِ اینشتین[2] ، که در معادلاتِ میدانِ اینشتین[3] ظاهر می‌شود، برحسبِ ثابتِ گرانش نیوتن[4] در چهار بُعد فضازمانی به صورت

است و آن را نیز، در هر بُعدی از فضازمان، برابر با واحد انتخاب می‌کنیم. ثابت گرانش نیوتن در ابعاد بالا به صورتِ زیر در می‌آید

و بنابراین ثابتِ گرانشِ اینشتین در هر بُعد برحسب ثابتِ گرانشِ نیوتن در همان بُعد نوشته می‌شود که مقدار آن، همان‌طور که ذکر شد، برابر واحد اختیار می‌شود.

 1-2 معرفی مفاهیم ارجاعی: ذرات نقطه‌ای، ریسمان‌ها و لایه‌ها[5]

بنیادی‌ترین ذرات در طبیعت به صورت ذراتِ نقطه‌ای[6] فرض می‌شوند زیرا بدون ساختارند و نمی‌توان برای آن‌ها بُعدی در نظر گرفت. یک نقطه در فضایبُعدی، بدون بُعد است. می‌توان ذره‌ی نقطه‌ای را درون یک فضازمان بُعدی (که بُعد اضافی زمان است) توصیف کرد. با وجودِ مفهوم زمان، حرکت برای ذره‌ی نقطه‌ای معنی پیدا می‌کند. حرکت ذره در فضازمان بُعدی یک خط 1+0 بُعدی است، یعنی بدون بُعد مکانی. به این موجود 1 بُعدی جهان‌خط[7] می‌گوییم. با گسترش نظری ایده‌ی ذره به ریسمان[8]، به‌عنوان مولدهای احتمالی ذرات بنیادی و رد ایده‌ی نقطه‌ای بودن آن‌ها، می‌توان برای ریسمان‌ها در فضازمان بُعدی یک جهان‌سطح 1+1 بُعدی در نظر گرفت. بنابراین فضازمانی که یک ریسمان تجربه می‌کند یک جهان‌صفحه[9] است. بر اساس نظریه ریسمان[10] اجزای تشکیل دهنده‌ی ماده، نه ذرات، بلکه ریسمان‌ها هستند. مطابق با این دیدگاه یک الکترون در حقیقت ریسمانی‌ست دارای ارتعاش و چرخش، اما در مقیاسی بسیار کوچک، بنابراین در مقیاس انرژی شتاب‌دهنده‌های امروزی به صورت ذره احساس می‌شوند. این نظریه برای تکامل به لایه‌ها[11] احتیاج دارد[12]. لایه‌ها گسترش ایده‌ی ریسمان‌ها هستند و برخلاف ریسمان‌ها اشیائی چند-بُعدی هستند. لایه شئ‌ای شبیه ریسمان اما با ابعاد دلخواه است. ریسمان را می‌توان یک لایه در نظر گرفت. ذره‌ی نقطه‌ای لایه است. یک پوسته که در هر لحظه از زمان به شکل یک رویه باشد یک لایه است و به همین ترتیب لایه، لایه، لایه (دو نوع)، لایه الی لایه را داریم. این لایه‌ها می‌توانند کل فضای حجمی یک فضازمان را پر کنند. نوع خاصی از لایه‌ها تحت عنوان لایه‌ها وجود دارند که می‌توانند در فضازمان‌های با ابعاد بالا غوطه‌ور باشند و نقش شرایط مرزی دیریکله[13] را در نظریه اَبرریسمان بازی کنند[14]. لایه‌ها ذرات نقطه‌ای هستند. لایه‌ها مشابه ریسمان‌ها و اشیائی یک بُعدی هستند. دو انتهای آن‌ها می‌تواند بر روی هم قرار گرفته و تشکیل یک حلقه دهند و همانند ریسمان‌ها می‌توانند در تمامی جهات حرکت کنند. به همین دلیل می‌توانند ارتعاش داشته باشند و دارای نوسانات کوانتومی هستند. لایه شئ گسترده شده در بُعد فضایی است و بنابراین در ادامه‌ی امتداد ایده‌ی جهان‌خط و جهان‌صفحه می‌توان برای آن‌ها جهان‌حجم‌هایی[15] بُعدی در نظر گرفت. این‌ها تعمیم ذره‌ی نقطه‌ای بدون ساختار داخلی به ابعاد بالا هستند. ویژگی بارز آن‌ها این است که مکان‌هایی در فضا هستند که انتهای ریسمان‌ها بر روی آن‌ها قرار می‌گیرد.لایه‌ها دارای جرم مشخصی هستند و با استفاده از این واقعیت که انتهای ریسمان‌ها می‌تواند بر روی آن‌ها قرار گیرد می‌توان جرم‌شان را حساب کرد. با ضعیف‌تر شدن اندرکُنش ریسمان‌ها جرم لایه افزایش می‌یابد. در مطالعه‌ی جهان‌صفحه‌ی ریسمان‌ها از فرض ضعیف بودن اندرکنش ریسمان‌ها استفاده می‌شود. در نتیجه لایه‌ها اجسام بسیار سنگینی هستند به گونه‌ای که حرکت دادن آن‌ها بسیار دشوار بوده و از این لحاظ به سختی می‌توان آن‌ها را اشیائی پویا در نظریه ریسمان محسوب کرد. دلیل اصلی شکل‌گیری انقلابِ مربوط به ورود لایه‌ها به حوزه‌ی فیزیک نظری، اَبرگرانش 11-بُعدی است. این نظریه بر پایه‌ی دو ایده شکل گرفت: اَبَرتقارن[16] و نسبیت عام[17]. این نظریه با نظریه‌های اَبرگرانشی مستخرج از نظریه‌ی ریسمان نیز مرتبط است و نظریه‌پردازان از این ارتباط، قبل از انقلاب دوم ریسمان[18] به خوبی آگاه بودند. اما ارتباط آن با جهان‌صفحه نظریه ریسمان ناشناخته بود. بدتر از همه این‌که این نظریه هیچ هم­گونی با مکانیک کوانتومی نداشت. به همین دلیل نظریه‌پردازان ریسمان با تردید به آن نگاه می‌کردند، زیرا بر این باور بودند که مکانیک کوانتومی و گرانش کاملاً به یک‌دیگر وابسته هستند. با گسترش یافتن این ایده‌ها بین نظریه‌پردازان طی چند سال، مسیر این نظریه در اواسط دهه‌ی 90 به ناگاه عوض شد. با این‌که هنوز هم ریسمان‌ها اشیائی مهم به شمار می‌رفتند اما وجود لایه‌ها با ابعاد مختلف در این نظریه ضروری به نظر می‌رسید و گاه در بعضی موارد حتی دارای اهمیتی به اندازه خود ریسمان‌ها بودند. در مواردی هم لایه‌ها به عنوان سیاه‌چاله‌های دمای صفر[19] توصیف می‌شدند.

فرض اولیه در نظریه ریسمان این است که ذرات اشیائی نقطه‌گونه نیستند بلکه مدهای نوسانی از ریسمان‌ها هستند. ریسمان‌ها بی‌نهایت باریک هستند و بر اساس فرضیات نظریه ریسمان دارای طولی بسیار کوچک در حدود هستند[1,4]. جرم کل ریسمان به سه بخش تقسیم می‌شود:

1) جرم سکون ریسمان که بین دو لایه قرار گرفته است.

  Brane

[12]در اواسط دهه 1990، پولچنسکی کشف کرد که نظریه ریسمان به اشیائی با ابعاد بالا تحت عنوان لایه‌های چندبعدی نیاز دارد [5]. این اشیا سازه‌های ریاضی پرقدرتی را وارد نظریه می‌کنند، و راه را برای ورود مدل‌های کیهان‌شناسی مبتنی بر واقعیت باز می‌کنند مانند تلاش‌های صورت گرفته در کیهان‌شناسی جهان‌لایه‌ای. تحلیل‌های انجام گرفته بر روی لایه‌های چند بعدی منجر به تولد تناظر شد که فهمی میکروسکوپیکی از خواص ترمودینامیکی سیاه‌چاله‌ها را به ما می‌دهد.

[14] در واقع حرفِ در لایه‌ها مختصر شده‌ی شرط مرزی دیریکله است. در حضور یک لایه، انتهای ریسمان‌های باز باید رویلایه موردنظر قرار گرفته باشند. در واقع چنین شرطی، که برای سازگاری ریاضیاتی درونی نظریه اَبرریسمان به وجود آمده، معادل با شرایط مرزی دیریکله برای انتهای اَبرریسمان‌هاست.

[18]انقلاب دوم در نظریه اَبرریسمان با گسترش این ایده که ریسمان‌ها نمی‌توانند تنها شرکت‌کنندگان موجود در این نظریه باشند شکل گرفت. یک دلیل این بود که با افزایش اندرکُنش‌های بین ریسمان‌ها، هم‌چون شکاف و ترکیب ریسمان‌ها، کنترل این فرایندها سخت‌تر و سخت‌تر می‌شد. به همین دلیل پیشنهادی مبنی بر اضافه کردن اشیای جدیدی به این نظریه به منظور کنترل فرایندهای شکاف و ترکیب به هنگام اندرکُنش‌های قوی صورت گرفت. دلیل دیگر به نظریات مطرح شده درباره‌ی اَبَرگرانش مربوط می‌شود.اولین انقلاب اَبرریسمان نیز مربوط به سال‌های 1984-1986 می‌شود. در این دوره مشخص شد که نظریه قادر است تمام ذرات بنیادی و برهم‌کُنش‌های بین آن‌ها را توضیح دهد.